傅立叶分析

傅立叶分析的起源傅立叶是法国的数学家和物理学家。他于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文。
该论文描述了使用正弦曲线描述温度分布的方法。当时存在一个有争议的决策：任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦波组成。
当时，拉格朗日坚决反对本文的发表。拉格朗日（Lagrange）近50年坚持认为，傅立叶（Fourier）方法不能表达角度信号，例如方波的不连续变化。
坡。该论文直到拉格朗日逝世15年后才发表。
那么谁是对的？拉格朗日的观点是，正弦曲线无法形成带有边角的信号。这是正确的，但是我们可以使用正弦信号来非常近似地表达它，并且与两种方法很接近，没有能量差。
如果我们这样理解，傅立叶是正确的。如何代表？傅里叶在这里提出的是，任何连续的周期信号都可以由一组连续的正弦波组合。
代表什么？让我们用一个例子来说明：正弦信号的叠加从上图可以看出，图片a是一个正弦波，图片b是三个不同频率的正弦波的叠加，图片c是图7是不同频率的7个正弦波的叠加，图d是19个不同频率的正弦波。波浪的叠加。
从上图可以看出，随着叠加波形数量的增加，获得的波形越来越接近方波。在这一点上，很容易理解它显然是正弦波，但是当叠加时，它接近方波。
随着叠加的增加，所有正弦波的上升部分逐渐使原来缓慢增加的曲线变得更陡峭，所有正弦波的下降部分抵消了当其上升到最高点时继续上升的部分，从而将其变为水平线。以这种方式叠加一个矩形。
需要多少个这样的波形？答案也很明显，它需要一个无限数。以下是更直观的图表：在此处插入图片进行描述。
在具有上述直觉的理解之后，让我们观察傅立叶级数的扩展。我们可以看到f（t）可以分解为各种频率的正弦信号。
叠加，初始a0可以看作是直流分量的叠加。有什么意义呢？在我们了解到任何周期信号都可以由一组适当的正弦信号组成之后，我们来看看它的重要性吗？在这里，我们将介绍频域的概念。
我们生活中的感觉是，一切都随着时间而变化，但是在很多情况下，如果从时间尺度上观察，我们将看不到任何更重要的功能。这时，我们需要看一下频域。
观察规模。这里，笔者仍以方波为例进行分析。
下图显示了通过方波分解获得的一系列正弦信号，以及图片中所示的频域图像和时域图像。图片来自互联网。
从上图可以看出，频域图像是从方波获得的一系列正弦信号的幅度在相应频点上的投影，构成了我们的频域图像。 。
也就是说，我们通过傅立叶变换对原始信号进行分解，然后将分解后的信号的幅度投影到其对应的频率点上，以便我们可以从频域的角度对信号进行分析和处理。最常见的应用之一是，在获得原始信号的频域图之后，我们可以对信号进行滤波，以去除不需要的频率分量。
下图是傅立叶变换的动画显示，可以帮助我们更好地理解。傅立叶变换傅立叶级数和傅立叶变换之间的关系当我们接触傅立叶分析信号时，将涉及两个概念，一个是傅立叶级数，另一个是傅立叶变换。
两者之间是什么关系？对于傅立叶级数，它针对周期信号，但不能处理非周期信号，而傅立叶变换可以处理非周期信号。下图显示了这种差异：傅立叶级数和傅立叶变换我们可以看到（a）和（b）用于周期信号，它们将傅立叶级数将图像变换到频域，并从图像中可以看出通过周期性信号变换获得的频域图像是离散的，但对于图（c），该信号是非周期性的，并且。