卡尔曼滤波器

首先，介绍一个离散控制过程系统。该系统可用线性随机差分方程描述：X（k）= AX（k-1）+ BU（k）+ W（k）加上系统的测量值：Z（k）= HX（k） + V（k）在上述两个等式中，X（k）是时刻k的系统状态，U（k）是系统在时刻k的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，它们是矩阵。 Z（k）是时刻k的测量值，H是测量系统的参数。
对于多测量系统，H是矩阵。 W（k）和V（k）分别代表过程和测量的噪声。
假设它们是白高斯噪声，它们的协方差是Q，R（这假设它不随系统状态变化而变化）。卡尔曼滤波器是满足上述条件的最佳信息处理器（线性随机微分系统，均为高斯白噪声）。
让我们使用它们来组合它们的协方差来估计系统的最佳输出（类似于上一节中的温度示例）。系统的过程模型首先用于预测系统的下一个状态。
假设当前系统状态为k，根据系统模型，可以预测出现在基于系统先前状态的状态：X（k | k-1）= AX（k-1 | k-1）+ BU（k）...........（1）在等式（1）中，X（k | k-1）是从先前状态预测的结果，和X（ k-1 | k-1）是先前状态的结果。 U（k）是当前状态的控制量，如果没有控制，则可以是0。
到目前为止，我们的系统结果已经更新，但是对应于X（k | k-1）的协方差尚未更新。我们使用P来表示协方差：P（k | k-1）= AP（k-1 | k-1）A'+ Q（2）在等式（2）中，P（k | k-1）是协方差对应于X（k | k-1），P（k-1 | k-1）是对应于X（k-1 | k-1）的协方差，A'表示A的转置矩阵，Q是系统过程。
协方差。等式1,2是卡尔曼滤波器的五个公式中的前两个，它是系统的预测。
现在我们已经预测了当前状态，然后我们收集当前状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到当前状态的最佳估计（k）X（k | k）：X（k | k）= X（k | k-1）+ Kg（k）（Z（ k）-HX（k | k-1））（3）其中Kg是卡尔曼增益：Kg（k）= P（k | k-1）H'/（HP（k | K-1）H'+ R ）...（4）到目前为止，我们已经获得了k状态下的最佳估计X（k | k）。
但是为了继续其他卡尔曼滤波器的操作直到系统处理结束，我们还更新了k状态下X（k | k）的协方差：P（k | k）=（I-Kg（k） ）H）P（k | k-1）...（5）I为1的矩阵，对于单个模型单次测量，I = 1.当系统进入k + 1状态时，P（k | k）是式（2）的P（k-1 | k-1）。以这种方式，算法可以进行自回归操作。
基本上描述了卡尔曼滤波器的原理。等式1,2,3,4和5是他的五个基本公式。
根据这五个公式，可以容易地实现计算机程序。举例说明了卡尔曼滤波器的工作过程，并给出了程序仿真结果。
将房间视为系统，然后对系统进行建模。当然，我们看到的模型不需要非常精确。
我们知道的房间温度与前一刻的温度相同，所以A = 1。没有控制，所以U（k）= 0。
因此，可以得出结论：X（k | k-1）= X（k-1 | k-1）............（6）等式（2）可以改为：P （k | k-1）= P（k-1 | k-1）+ Q（7）由于测量值是温度计，它直接对应于温度，因此H = 1。等式3,4和5可以改变为以下：X（k | k）= X（k | k-1）+ Kg（k）（Z（k）-X（k | k-1））。
........（8）Kg（k）= P（k | k-1）/（P（k | k-1）+ R）.........（9）P （k | k）=（1-Kg（k））P（k | k-1）.........（10）现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200次测量，平均为25度，但增加了高斯白噪声，标准偏差为几度（图中的蓝线）。
为了使卡尔曼滤波器工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，即X（0 | 0）和P（0 | 0）。他们的价值观不必过于粗心，只需给出一个，因为随着卡尔曼的工作，X将逐渐趋同。
但是对于P，一般不要取0，因为这可能使得卡尔曼完全相信你给定的X（0 | 0）是系统最优的，因此算法不能收敛。我选择X（0 | 0）= 1度而P（0 | 0）= 10。
系统的实际温度为25度，如图中黑线所示。图中的红线是卡尔曼滤波器输出的优化结果（结果在算法Q = 1e-6，R = 1e-1中设置）Kalman_filter Kalman_smoother - 实现RTS方程Learn_kalman - 找到最大似然估计使用EM Sample_lds的参数 - 生成随机样本AR_to_SS - 将阶数k的自回归模型转换为状态空间形式SS_to_AR Learn_AR - 使用最小二乘法找到参数的最大似然估计